6.6 Zjednodušovanie logických funkcií
(minimalizácia)
Používané metódy minimalizácie
Zjednodušovanie logickýcf funkcií pomocou Karnaughovej mapy
Cieľom minimalizácie logickej funkcie je nájsť jednoduchší výraz, ktorý sa výstupnými hodnotami rovná pôvodnej funkcii. To vedie k úspore obvodov, času, zmenšeniu rozmerov, ceny, spotreby apod. V dôsledku nej cesty signálu logickými obvodmi môžu niekedy vzniknúť rušivé impulzy (hazardy). Minimalizácia funkcie v PLC vedie ku kratšiemu programu a jeho rýchlejšiemu behu.
Používané metódy minimalizácie < >
1.) Použitie pravidiel Booleovej algebry – vhodné pre jednoduché funkcie, používané príležitostne
2.) Využitie Karnaughovych máp – odporúčame najviac
3.) Quineova metóda (Mc Cluskeyova, Presto, Espresso) – pre počítače
Pri voľbe vhodnej metódy riešime rozpor – prvé dve metódy môžeme prevádzať ,,ručne” a kedykoľvek, ale sú samozrejme náročné na čas. V dnešnej dobe má aj čas svoju cenu! Pre tretiu metódu potrebujeme okrem počítača aj vhodný program. Metódy, o ktorých sme sa zmienili fungujú ale len pre základný sortiment integrovaných obvodov – nepoukazujú na možné použitie multiplexorov apod. V nasledujúcej časti si popíšeme prvé dve metódy.
Pravidlá Booleovej algebry a ich využitie pre minimalizáciu < >
Tu si uvedieme základné pravidlá Booleovej algebry. Platí, že ak zameníme v pravidlách znamienka logického súčinu a súčtu
(+ a .), hodnoty 0 a 1 (ak sú), dostaneme nové platné pravidlo.
Príklad 1.
Zjednodušte funkciu
.
Príklad 2: Upravte výrazy
Zjednodušovanie logických funkcií pomocou Karnaughovej mapy < >
Karnaughove mapy nepredstavujú len spôsob vyjadrenia logickej funkcie, ale používajú sa tiež pre minimalizáciu logických funkcií, obvykle však nanajvýš so štyrmi vstupnými premennými.
Definujme si teraz tzv. susedné políčka v mape. Sú to políčka, ktoré sa líšia práve v jednej premennej, ľahko si overíme, že sú to všetky políčka susediace hranou. Okrem toho sú to políčka, ktoré sa pri stočení papierovej mapy do roličky dotknú podľa vodorovnej alebo zvislej osi. pre päť vstupných premenných sú to políčka ,,nad sebou” , ak by sme obe mapy nakreslili na samostatný papier. Na obr. 6.9. sú vyznačené niektoré susediace políčka v mape pre štyri premenné:
Obr. 6.9. Niektoré susedné políčka Karnaughovej mapy
Postup zjednodušovania logickej funkcie:
1.) Zadanú funkciu vynesieme do mapy, to znamená políčka, kde je funkcia rovná jednej, nejako označíme napr. 1 alebo I.
2.) Vytvoríme spoločné bloky (minitermy) pre dva, štyri alebo osem susedných políčok, ktoré obsahujú jednotky. Minitermy nevytvárame uhlopriečne, pretože to nie sú susedné políčka.
3.) Každá jednotka môže ležať i vo viacerých blokoch.
4.) Bloky sa snažíme urobiť čo najväčšie.
5.) Z blokov v mape prečítame zjednodušenú funkciu – výsledok. Postupujeme tak, že spätne čítame bloky, ale v súčine vynechávame tie premenné, ktoré v danom bloku ležia len sčasti. Výsledná funkcia je daná súčtom takto upravených blokov.
6.) Ak sa nepodarilo vytvoriť ani jeden blok pozostávajúci z dvoch políčok, nie je možné funkciu zjednodušiť.
Pre zvedavých uvádzame vysvetlenie:
Z vlastností mapy vyplýva, že sa susedné políčka líšia práve v jednej premennej, zvyšné premenné sú rovnaké. Pri matematickom zjednodušovaní by sme tento zvyšok vyňali pred zátvorku, v zátvorke by tak potom zostal súčet premennej a jej negácie, ktorý je rovný jednej a z člena teda vypadne (bod 5). Preto každý blok vytvorený z dvoch políčok vylučuje jednu premennú. Blok vytvorený zo štyroch vylúči dve premenné a blok vytvorený z ôsmych tri premenné.
Príklad 3:
Zjednodušenie funkcie
